Složené úročení

1) Základní vzorce

Jednorázový vklad (lump sum)

Budoucí hodnota po t letech při roční sazbě r a n připisováních ročně:

FV = PV · (1 + r/n)^(n·t)

• PV – počáteční vklad (jistina)
• r – roční nominální sazba (např. 0,06 pro 6 % p.a.)
• n – počet připisování za rok (1=ročně, 12=měsíčně)
• t – doba v letech

Pravidelné vklady (renta/annuitta)

Budoucí hodnota pravidelného vkladu P placeného na konci každého období (ordinary annuity):

FV = P · [((1 + r/n)^(n·t) − 1) / (r/n)]

Pokud se platí na začátku období (annuity due), přenásobte navíc (1 + r/n).

Efektivní roční sazba (EAR)

K převodu z nominální sazby na „skutečnou“ roční: EAR = (1 + r/n)^n − 1

Reálný (inflačně očištěný) výnos

Zohlednění inflace π: rreál ≈ (1 + rnom)/(1 + π) − 1

2) Praktické příklady

3) Nominální vs. reálné: vliv inflace

Uvažujme průměrnou inflaci π = 3 %. Nominální výnos r = 6 % odpovídá reálně zhruba (1,06/1,03 − 1) ≈ 2,91 %. To výrazně mění, jak vnímat „skutečný“ růst kupní síly. Reálná čísla jsou klíčová pro cílové částky v důchodu.

4) Poplatky a jejich dopad

U průběžně účtovaných poplatků (např. 1 % p.a.) je vhodná aproximace rnetto ≈ r − f (přesněji: (1 + r)/(1 + f) − 1). I „malý“ roční poplatek dokáže dlouhodobě výrazně snížit výsledek.

Hodnoty jsou zaokrouhlené ilustrace; přesný výsledek závisí na přesném průběhu a frekvenci připisování.

5) Tabulka růstu (příklad)

Příklad měsíčního vkladu 1 000 Kč, 6 % p.a., připisování měsíčně, vklady na konci měsíce:

6) Rychlé heuristiky

• Pravidlo 72: přibližný počet let k zdvojnásobení = 72 / (výnos v %). Např. 6 % ⇒ ~12 let. (Heuristika, nikoli přesný výpočet.)
• Citlivost na čas: začít dřív a vydržet často porazí vyšší, ale krátkodobý výnos.

7) Jak spočítat „kolik mám posílat“ pro konkrétní cíl

Chcete dosáhnout cíle FV za t let při sazbě r a n připisování? Potřebná pravidelná platba P (na konci období) je:

P = FV · (r/n) / ((1 + r/n)^(n·t) − 1)

Pokud platíte na začátku období, násobte ještě (1 + r/n) (platí i opačně pro přepočet).

8) Typické omyly a na co si dát pozor

• Ignorování inflace: sledujte reálná čísla; 2–3 % inflace dlouhodobě „ukousne“ velkou část nominálního výnosu.
• Podceňování poplatků: roční poplatek 1 % se může podepsat na výsledku více, než čekáte (kompounduje se proti vám).
• Nízká frekvence/konzistence vkladů: vynechané měsíce snižují efekt složení.
• Přehnané „časování“: dlouhý horizont a diverzifikace bývají spolehlivější.

9) Propojení s 3. pilířem a DIP

• U DPS volba dynamičtější strategie v mladším věku může zvýšit efekt složení, ale kolísá.
• U DIP lze využít širší spektrum investic — důležitá je disciplína a nákladovost.
• Státní příspěvek a daňové úlevy efekt složeného úročení dále posilují (vyšší čistý „P“).